幻方与幻立方（三）：幻立方、反证法和一个小证明

阅读本文需要会使用四则运算、一点点关于奇偶数的小知识和一点点逻辑。建议先阅读本系列第一篇。

幻立方的定义

在之前的专栏中，我们已经了解了什么是幻方。“幻立方”这个名字很容易让我们联想到幻方。幻立方是幻方向三位空间的延伸，是具有某些和幻方相似性质的形如立方体的数阵。对于一个从1到n的立方组成的n*n*n的数阵，我们可以从幻方推广出几个期望：

（1）立方体行轴、列轴、层轴（也就是一层的行、列和垂直于这一层的线）3n条直线上的n数之和都相等，我们把这个和叫做幻和

（2）四条立方对角线（也就是立方体的8个角之间两个相对的角互相连线，比如前面的左下角和后面的右上角）上的n个数之和等于幻和

（3）每个面的平面对角线（一共有6n条）上n个数之和等于幻和

（4）每个面幻对角线（关于幻对角线，请看本系列专栏1末尾）上n个数之和等于幻和

在这4个期望中，1是最重要的，幻立方必须满足1，但不同种的幻立方对于2、3、4的要求不太相同。我在网上查到的对于不同种幻立方的定义不太清晰，有的表述略有歧义，因此暂且不给出不同种幻立方的定义（等待补丁）。在下文中，用立方对角线、平面对角线、幻对角线来表示2、3、4。

为了研究幻立方，我们从研究阶数最低的幻立方——三阶幻立方开始。

插播小方法：反证法

对于我们即将尝试构造的一个对象，我们往往会面对“存不存在”这个问题。如果存在，我们通过构造出一个来证明；如果不存在，反证法是一个很好用的证明方法。“构造不出来”是一种感受，并不能作为严格证明“不存在”的证据，它只是一种指向答案的感觉。（对于某些特殊情况，“构造不出来”也能作为证明方法，比如想探究n阶幻立方存不存在，由于数阵的个数是有限的，因此遍历所有可能的数阵，如果找到了就是有，没找到就是没有。不难想到这个工作量非常大，很可能需要计算机的协助，因此在有更优的选择时我们不采用这个方法。）而反证法的思路是，假设我们尝试构造的这个东西存在，把对于这个东西的描述作为条件，试图导出两个互相矛盾的结论，那么这个东西就不可能存在。因此反证法能够作为严格证明的方法。

三阶幻立方和反证法的应用

本期专栏我们只讨论一个比较贪心的问题：满足上文中所有期望的三阶幻立方，存在吗？

在处理存不存在的问题时，假如对于目标的要求比较简单，直接尝试构造是一个比较有效的方法（比如三阶幻方，就容易直接凑出来）。但是，幻立方对于数阵的要求很多，如果直接构造，会让人感觉很难下手。数变多了，构造三阶幻方时直接写出8个算式的方法也很难行得通。因此，我们可以先进行一些分析——这些分析可以作为尝试构造的依据，假如试不出来，也能作为使用反证法的帮助。（下面的分析中，为了更好理解，部分语言不是数学语言，不是很严谨的证明，只是证明思路。）

假设存在满足所有期望的三阶幻立方。

首先，我们考虑9个行轴。这9个行轴上的3个数之和相等，并且它们的总和是1+2+…+27=378。那么幻和就是378/9=42。

其次，我们可以利用奇偶性来猜测一下奇偶数的分布情况。在分析整数的运算时，奇偶性是一个很有用的性质。我们可以通过幻和是偶数，推断出每条线上的3个数要么没有奇数，要么有2个奇数。1—27中有14个奇数，13个偶数。目前来看，还没有什么矛盾。

接下来，我们考虑其中一层。首先，一层中不可能有2个奇数，因为假如有2个，它们要么同行、要么同列，不会同时同行或同列，也就是存在某一条线上恰有1个奇数，构成矛盾。那么一层中奇数的个数只可能是0、4、6 。又因为3层中有14个奇数，所以一层中不可能没有奇数——否则另外两层最多12个奇数，14个数装不下。那么，这14个奇数应该以4、4、6的形式分布在3层。

假如一层中有4个奇数，那么中间的格应该是偶数，因为假如中间是奇数，过中间的4条线上应该都还有一个奇数，4个奇数不够用。又因为这4个奇数显然不能都放在4边中间的位置，不难推测出4个奇数唯一的摆法就是放在四个角上。

假如一层中有6个奇数，那么必然存在一个角上有奇数，因为角块有4个，不放在角上装不下。

综上，连接三层的四个角的层轴中，必然有一条上存在3个奇数。产生矛盾。故不存在满足所有条件的三阶幻立方。

总结+作者碎碎念

在上述证明思路中，整体思路是反证法，在分类讨论逐渐排除所有情况的过程中又多次运用了反证法。那么，对于三阶幻立方，它有可能满足什么条件，不可能满足什么条件呢？这个问题交给读者们思考。

至此，幻方和幻立方的简介结束。各位读者可能已经注意到，我想分享的不仅仅是幻方和幻立方的定义，还有在处理“构造”这一类问题时可用的思维方法（当然，幻方和幻立方本身也很有魅力）。在本系列后续的分享中，我将和大家讨论n阶幻方/幻立方的存在性、构造方法等问题，并且介绍更多的小方法、小知识。

这次更新是补上周的，这周末争取再写一篇。鸽子精写稿三周啦，定个小目标，争取成为周更up主！如果大家对我分享的知识有不同的看法和疑问，欢迎评论！如果看到了有趣的题希望我写相关的专栏，也欢迎推荐！