切比雪夫不等式，这是一个非常难记住的不等式。我在上概率论的时候，没少背过这个不等式，总是背了记，记住了又忘了，非常难记住。
就因为在中国的大多数的教科书上，采用的切比雪夫不等式的形式都是偏向应用的，而不是完全理论化的形式。（也许有我上课不认真听课的结果）
现在给大家展示最容易接触到的切比雪夫不等式的形式，摘选自《概率论与数理统计教程》，茆诗松版本。
这个版本的切比雪夫不等式是不是看得一同雾水？我们再来看看证明过程。
这个证明过程看着也非常不自然对吧？尤其是第二步骤，突然构造出了一个平方除以平方的项。看了之后，得好一会儿才能反应过来，那个项由于X的取值范围，是大于等于1的，所以大于等于可以画出来。
现在给大家提供一种新的切比雪夫不等式的形式，我们做一个代换就行。
那么不等式的左边是：
这个表示与原来切比雪夫不等式的左边等价。
不等式的右边是什么呢？我们知道：
啊！对了，代换之后，
那么表达式现在成什么样子了？
哎呀，那个ε的平方看得多不顺眼啊，用ε代换一下就好了。
对了！就是你！
切比雪夫的最简形式！这个公式就是本文想传递的最核心的东西！
如何推出原来的形式呢？很简单啊，只要反代换一下就好了
要不要证明一下？两行就够了。
I(x)表示示性函数，简单来说，就是括号里面的命题是对的，那这个函数值就是1，不对的话就是0。
于是，我们根据数学期望的性质，有了
把头尾两项合起来，移一下项就得到了
证毕！
参考文献：
[1]A.H.施利亚耶夫, 周概容.译. 概率:第一卷 北京:高等教育出版社, 2007
[2]茆诗松,程依明,濮晓龙, 概率论与数理统计教程, 北京:高等教育出版社, 2019
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