数学建模—微分方程模型总结

       微分方程是含有函数及其导数的方程，如果方程组只含有一个自变量（通常是时间t），则称为常微分方程，否则称为偏微分方程。在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系–函数表达式，但是却很容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统—即建立微分方程模型。微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分方程的解释随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公路上飞驰，一个球从空中落下。偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变而且描述物体各部分之间位置的相对变化。如水的流动,烟雾的扩散,公路上车流的涌动等。

微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。

常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程，需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定解条件。

方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。

定解问题分为初值问题和边值问题。初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的定解条件在不同点上。

求解步骤：

①. 注意到实际问题中有与数学中“导数”有关的常用词，“速度”、“速率”（运动学、化学反应中），“边际的”（经济学中）；“增长”（生物学、金融、经济等中），“衰变”（放射性问题中）；以及与“改变，、'变化”、“增加”、减少”等有关词语，都可能是微分方程的问题。
②. 梳理出实际问题中所涉及的各种量，使用一致的物理单位。
③. 梳理出与结果有关的并且有着函数关系（待求）的量作为要求的函数的自变量与因变量，而与变化率有关的量，即是待求函数的导数。

经典模型介绍

1. 人口模型

1）Malthus模型

模型假设：设x(t)表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微；人口的增长率r式常数；人口数量的变化是封闭的。

模型建立：

2）Logistic模型

模型假设：增长率r(x)为线性函数，；设地球最大容纳量为xm。

模型建立：

2. 传染病模型

1）简易模型

假设条件：每个病人在单位时间内传染的人数是一个常数；一个病人在得病后自动死亡，但是在传染期内不会死亡。

模型建立：

2）SI模型

假设条件：考察地区人口总数N不变；人群分为易感染和已感染人群，在时刻t这两类人群在总人数中比例分别为s(t)和i(t);每个病人每天平均有效接触人数为固定常数，且有效接触即为被接触者必感染情况；得病后不会被治愈，且在传染期内不会死亡。

模型建立：

3）SIS模型

假设条件：在SI模型假设条件的基础上把病人不会治愈求传染期内不会死亡条件改为病人每天被治愈的占总病人数的比例为u。病人在被感染治愈后依旧可以被感染。

模型建立：

4）SIR模型

假设条件：在SI模型的假设基础上把病人不会治愈求传染期内不会死亡条件改为病人可以治愈，且治愈好后一处感染系统，移出者比例为r(t),接触数为固定常数

模型建立：

初始时期i0+s0≈1整理可得：

结果分析：

3. 差分方程模型

差分方程是包含未知函数的差分及自变数的方程。

差分方程模型最重要的作用在于，当我们在解微分方程的时候，有时候微分方程很难直接解，那么这个时候，我们就可以将微分方程的连续化变成离散的。通过找到一个递推式和知道初始条件，那么就可以近似的求解出微分方程的最终解。

规定t只取非负整数。记yt为变量y在t点的取值，则称▲yt=y(t+1)-yt,为yt的一阶向前差分，简称差分。由t、yt及yt的差分给出的方程称为yt的差分方程，其中含yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊编《数学建模》.

[2]  陈汝栋，于延荣编著《数学模型与数学建模》.

[3]  单锋、朱丽梅、田贺民编著《数学建模》.

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